urlop rodzicielski a zmiana pracodawcy

Witam,
Przebywam na urlopie rodzicielskim i otrzymałam ofertę pracy od innego pracodawcy (umowa o pracę). Początek stosunku pracy z nowym pracodawcą przypada przed końcem okresu, na który złożyłam wniosek o urlop rodzicielski u obecnego pracodawcy. Kiedy powinnam złożyć wypowiedzenie u obecnego pracodawcy (zachowując oczywiście okres wypowiedzenia): przed rozpoczęciem pracy u nowego pracodawcy? Tuż przed końcem urlopu rodzicielskiego? Po zakończeniu urlopu rodzicielskiego (biorąc pod uwagę, że przysługuje mi zaległy urlop z zeszłego roku i urlop za ten rok proporcjonalnie do części roku, w której pozostaję w stosunku pracy ze starym pracodawcą)?
Jak wygląda kwestia zasiłku rodzicielskiego? Sprawa nie jest uregulowana w kodeksie pracy, znalazłam natomiast informacje w internecie, iż mimo rozpoczęcia pracy u nowego pracodawcy, zasiłek wciąż mi będzie mi przysługiwał przez wnioskowany przeze mnie okres. Co więcej, będzie mi on przysługiwał nawet, jeśli ustanie mój stosunek pracy z obecnym pracodawcą. Chciałam potwierdzić te informacje.
Z poważaniem,
Agata